Вычислительная математика
Примерный перечень вопросов Январь 2024
1. Конечные разности и их свойства. Таблица конечных разностей.
2. Суммирование функций. Формула Абеля суммирования по частям.
3. Разностное уравнение, его порядок. Линейные разностные уравнения первого порядка и порядка выше первого.
4. Разделенные разности и их связь с конечными.
5. Аппроксимация функций. Задача интерполирования.
6. Интерполяционный полином Лагранжа. Остаточный член полинома Лагранжа.
7. Выбор узлов интерполирования. Интерполяционный полином Ньютона для равно- и неравноотстоящих узлов.
8. Сплайн-интерполяция. Подпрограммы SPLINE и SEVAL . Интерполирование по Эрмиту. Обратная задача интерполирования.
9. Квадратурные формулы левых, правых и средних прямоугольников, трапеций, Симпсона. Малые и составные формулы, их остаточные члены.
10. Общий подход к построению квадратурных формул. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса, Чебышева, Гаусса.
11. Адаптивные квадратурные формулы. Подпрограмма QUANC8 .
12. Задача численного дифференцирования. Влияние вычислительной погрешности. 13. Среднеквадратичная аппроксимация (дискретный случай). Понятие веса.
14. ---"---"---"---"--- (непрерывный случай). Понятие ортогональности.
15. Ортогонализация по Шмидту. Примеры ортогональных полиномов.
16. Обратная матрица, собственные числа и векторы. Задачи на матрицы. Норма матрицы, сходимость матричного степенного ряда, функции от матрицы.
17. 7 теорем о матричных функциях.
18. Решение систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянной матрицей.
19. Устойчивость решений дифференциальных и разностных уравнений.
20. Метод Гаусса и явление плохой обусловленности. LU-разложение матрицы. Подпрограммы DECOMP и SOLVE .
21. Метод последовательных приближений для решения линейных систем.
22. Методы бисекции, секущих, обратной параболической интерполяции для решения нелинейных уравнений. Подпрограмма ZEROIN .
23. Методы последовательных приближений и Ньютона для решения нелинейных уравнений и систем.
24. Задача Коши решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Явный и неявный методы ломаных Эйлера, метод трапеций.
25. Методы Адамса. Локальная и глобальная погрешности, степень метода.
26. Методы Рунге-Кутты. Подпрограмма RKF45 .
27. Глобальная погрешность. Устойчивость метода. Ограничение на шаг. Явление жесткости и методы решения жестких систем.
28. Метод Ньютона в неявных алгоритмах решения дифференциальных уравнений.
29. Метод стрельбы для решения краевых задач.
___________________________________________________________________
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Июнь 2023
(примерный перечень вопросов)
1. Понятие модели. Функции моделей. Классификация моделей.
2. Модели на микро-, макро - и метауровне. Требования к "хорошей" модели. Основные этапы процесса моделирования.
3. Анализ линейных математических моделей, основные его этапы. Фазовые портреты для моделей первого и второго порядка.
4. Получение решения линейной модели (построение матричной экспоненты и интеграла от нее).
5. Наблюдаемость отдельных составляющих решения линейной системы. Пример программы модального анализа.
6. Анализ чувствительности. Чувствительность составляющих решения к вариации параметров.
7. Управление устойчивостью в линейной динамической модели (использование сингулярного разложения и программы SVD для матриц различных размерностей и рангов).
8. Анализ нелинейных моделей. Основные этапы. Теорема о неявных функциях. Классификация равновесных точек и их устойчивость.
9. Понятие орбитальной устойчивости. Решение линейных систем с периодическими коэффициентами. Уравнение в вариациях. Критерий орбитальной устойчивости периодического решения. Примеры.
10. Понятие бифуркации. Точки ветвления и поворота, бифуркация Андронова-Хопфа.
11. Методы получения стационарных решений. Метод продолжения по параметру.
12. Определение бифуркационных точек поворота, ветвления, Андронова-Хопфа.
13. Получение периодического решения, его орбитальная устойчивость.
14. Виды бифуркации периодического решения. Отображение Пуанкаре, алгоритмы его построения.
15. Построение бифуркационных диаграмм для периодических решений. Структурная схема анализа нелинейных моделей.
16. Понятие аттрактора. Странные аттракторы, пример механизма их возникновения (явление Фейгенбаума, субгармонический каскад).
17. Фрактальные размерности. Аттрактор Лоренца.
18. Компонентные и топологические уравнения на макроуровне.
19. Автоматизация построения математического описания. Свойства матрицы инциденций.
20. Узловой метод анализа. Сведение интегро-дифференциальных уравнений к разностным.
21. Анализ интегро-дифференциальных уравнений методом сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Недостатки этого подхода.
22. Некоторые сведения из теории графов. Метод переменных состояния. Понятие топологического вырождения.
23. Метод переменных состояния без топологических вырождений.
24. Метод переменных состояния при наличии топологических вырождений.
25. Автоматизация составления уравнений состояния. Алгоритмы "склеивания вершин" и "обрезания хвостов".
26. Элементы теории возмущений. Приведение уравнений к безразмерной форме. Возмущения по координате ( x®0, x®µ).
27. Символы порядка и калибровочные функции. Асимптотические разложения, последовательности и ряды.
28. Возмущения по параметру: алгебраические уравнения (регулярный случай с различными и кратными корнями, сингулярный случай), трансцендентные уравнения, дифференциальные уравнения (регулярный случай, методика растянутых параметров Линдштедта-Пуанкаре, сингулярный случай, сращивание асимптотических разложений).
29. Упрощение математических моделей, описываемых жесткими дифференциальными уравнениями. Принцип квазистационарности производных (ПКП).
30. Понятие антиинтуитивных систем, их признаки и типичные ошибки при принятии управленческих решений.
____________________________________________________________________